PA e PG, Progressão Aritmética, Progressão Geométrica, Matem&aaculte;tika na Kabeça, Professor Adriano Sumar Cardoso, Exercícios.

Progressões

Progressão Aritmética

Definição

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo. É a soma do anterior com uma constante, denominada razão. Esta razão e representada pela letra r.

Elementos

a₁ - 1^o termo

a_n - termo genérico (ou n-ésimo termo)

r - razão

n - número de termos

S_n - soma dos termos

TM - termo médio

Fórmula do termo Geral da P.A.

a_n = a₁+ (n-1).r

Interpolação Aritmética

Interpolar ou inserir 'k' meios aritméticos entre os termos a₁e a_nsignifica formar uma progressão aritmática de 'k + 2' termos, onde a₁ e a_nsão extremos.

Soma dos Termos da P.A.

A soma dos termos de uma P.A. limitada (ou finita) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

Termo Médio de uma P.A.

Consequência da Fórmula da Soma

P.A. de número ÍMPAR de termos S_n = TM .

S_i - S_p= TM

onde: S_i = a1 + a3+ a5 + ... e S_p = a2 + a4 + a6 + ...

P.A. de número PAR de termos:

Representação de 3 termos na P.A.

Quando três termos desconhecidos estão em progressão aritmética, pode-se usar o seguinte artifício:

(x-r) ; x ; (x+r)

Exercícios - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - P.A.

Questões

1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).

2-) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).

3-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).

4-) Qual é o centésimo número natural par ?

5-) Ache 0 5^o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).

6-) Ache o sexagésimo número natural ímpar.

7-) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?

8-) Ache a₁ numa P.A., sabendo que r=1/4 e a₁₇=21.

9-) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ?

10-) Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).

11-) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ?

12-) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ?

13-) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ?

14-) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8 ?

15-) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

16-) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8 ?

17-) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.

18-) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.

19-) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

20-) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:

a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987 ?

b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ?

Respostas

Questão 1

Dados: a₁ = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; a_n = ? ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a_n = 2 + (n -1).5 ==> a_n = 2 + 5n - 5 ==> a_n = 5n - 3

Resposta: a_n = 5n - 3

Questão 2

Dados: a₁ = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; a_n = ? ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a_n = 7/3 + (n -1). 5/12 ==> a_n = 7/3 + 5/12n - 5/12 ==> a_n = 5/12n + 28/12 - 5/12 ==> a_n = 5/12n + 23/12

Resposta: a_n = 5/12n + 23/12 ou a_n = (5n + 23)/12

Questão 3

Dados: a₁ = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; a_n = a₁₅ = ? ; n = 15

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₁₅ = 4 + (15 -1).6 ==> a₁₅ = 4 + 14.6 ==> a₁₅ = 4 + 84 ==> a₁₅ = 88

Resposta: a₁₅ = 88

Questão 4

Dados: a₁ = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; a_n = a₁₀₀ = ? ; n = 100

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₁₀₀ = 0 + (100 -1).2 ==> a₁₀₀ = 0 + 99.2 ==> a₁₀₀ = 198

Resposta: a₁₀₀ = 198

Questão 5

Dados: a₁ = a+b ; r = (3a-2b)-(a+b) ==> r = 3a-2b - a-b ==> r = 2a-3b
a_n = a₅ = ? ; n = 5

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₅ = a+b + (5-1).(2a-3b) ==> a₅ = a+b + 4.(2a-3b) ==> a₅ = a+b +8a-12b ==> a₅ = 9a - 11b

Resposta: a₅ = 9a - 11b

Questão 6

Dados: a₁ = 1 ; r = 3 - 1 = 2 ; a_n = a₆₀ = ? ; n = 60

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₆₀ = 1 + (60 -1).2 ==> a₁₅ = 1 + 59.2 ==> a₆₀ = 1 + 118 ==> a₆₀ = 119

Resposta: a₆₀ = 119

Questão 7

Dados: a₁ = 4 ; r = 5 ; a_n = 44 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
44 = 4 + (n-1).5 ==> 44 = 4 + 5n -5 ==> 44 -4 + 5 = 5n ==> 45 = 5n ==> 45/5 = n ==> 9 = n ou n = 9

Resposta: 9^a posição

Questão 8

Dados: a₁ = ? ; r = 1/4 ; a₁₇ = 21 ; n = 17

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₁₇ = a₁ + (17-1).(1/4) ==> 21 = a₁ + 16/4 ==> 21 = a₁ + 4 ==> 21 - 4 = a₁ ==> 17 = a₁

Resposta: a₁ = 17

Questão 9

Dados: a₁ = -5 ; r = 3 ; a_n = 16 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
16 = -5 + (n-1).3 ==> 16 = -5 + 3n -3 ==> 16 = 3n - 8 ==> 16 + 8 = 3n ==> 24 = 3n ==> 24/3 = n ==> 8 = n

Resposta: n = 8

Questão 10

Dados: a₁ = 5 ; r = 5 ; a_n = 785 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
785 = 5 + (n-1).5 ==> 785 = 5 + 5n -5 ==> 785 = 5n ==> 785/5 = n ==> 157 = n

Resposta: n = 157

Questão 11

Dados: a₁ = ? ; a_n = a₇ = 46 ; a₆ = 39 ; r = a₇ - a₆ ; r = 46 - 39 ==> r = 7 ; n = 7

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
46 = a₁ + (7-1).7 ==> 46 = a₁ + 6.7 ==> 46 = a₁ + 42 ==> 46 - 42 = a₁ ==> 4 = a₁

Resposta: a₁ = 4

Questão 12

Dados:P.A.(105,...,994); a₁ = 105 ; a_n = 994 ; r = 7 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
994 = 105 + (n-1).7 ==> 994 = 105 + 7n - 7 ==> 994 = 105 - 7 + 7n ==> 994 = 98 + 7n ==> 994 - 98 = 7n ==>
==> 896 = 7n ==> 896/7 = n ==> 128 = n

Resposta: n = 128

Questão 13

Dados:P.A.(0,...,95); a₁ = 0 ; a_n = 95 ; r = 5 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
95 = 0 + (n-1).5 ==> 95 = 0 + 5n - 5 ==> 95 + 5 = 5n ==> 100 = 5n ==> 100 = 5n ==> 100/5 = n ==> 20 = n

Resposta: n = 20

Questão 14

1-) Calculamos a quantidade de números, entre 100 e 500, que são divisíveis por 8.
Dados:P.A.(104,...,496); a₁ = 104 ; a_n = 496 ; r = 8 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
496 = 104 + (n-1).8 ==> 496 = 104 + 8n - 8 ==> 496 = 96 + 8n ==> 496 - 96 = 8n ==> 400 = 8n ==> 400/8 = n ==> 50 = n

2-) Calculamos a quantidade de todos os números, entre 100 e 500.
Dados:P.A.(100,...,500); a₁ = 100 ; a_n = 500 ; r = 1 ; n = ?

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
500 = 100 + (n-1).1 ==> 500 = 100 + n - 1 ==> 500 = 99 + n ==> 500 - 99 = n ==> 401 = n

3-) Calculamos o número de termos que não são divisíveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351

Resposta: n = 351

Questão 15

P.A.(1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)
Dados: a₁ = 1 ; r = ? ; a_n = a₁₃ = 37 ; n = 13

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₁₃ = 1 + (13-1).r ==> 37 = 1 + 12.r ==> 37 -1 = 12r ==> 36 = 12r ==> 36/12 = r ==> 3 = r

Calculamos as 11 interpolações:

a₂ = a₁ + r ==> a₂ = 1+3 = 4
a₃ = a₂ + r ==> a₃ = 4+3 = 7
a₄ = a₃ + r ==> a₄ = 7+3 =10
a₅ = a₄ + r ==> a₅ =10+3 =13
a₆ = a₅ + r ==> a₆ =13+3 =16
a₇ = a₆ + r ==> a₇ =16+3 =19
a₈ = a₇ + r ==> a₈ =19+3 =22
a₉ = a₈ + r ==> a₉ =22+3 =25
a₁₀ = a₉+ r ==> a₁₀ =25+3 =28
a₁₁ = a₁₀+ r ==> a₁₁ =28+3 =31
a₁₂ = a₁₁+ r ==> a₁₂ =31+3 =34

Resposta: a_n = P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37)

Questão 16

Dados:P.A.(2,...,66); a₁ = 2 ; a_n = 66 ; r = 8 ; n = ?

Resolução:a_n = a₁ + (n-1).r
66 = 2 + (n-1).8 ==> 66 = 2 + 8n - 8 ==> 66 = 8n - 6 ==> 66 + 6 = 8n ==> 72 = 8n ==> 72/8 = n ==> 9 = n

Subtraímos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7.

Resposta: n = 7

Questão 17

Dados:P.A.(10, _, _, _, _, _, _,500); a₁ = 10 ; a_n = a₈ = 500 ; r = ? ; n = 8

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
500 = 10 + (8-1).r ==> 500 = 10 + 7.r ==> 500 - 10 = 7r ==> 490 = 7r ==> 490/7 = r ==> 70 = r

Calculamos as 6 interpolações:

a₂ = a₁ + r ==> a₂ = 10+70 = 80
a₃ = a₂ + r ==> a₃ = 80+70 = 150
a₄ = a₃ + r ==> a₄ =150+70 =220
a₅ = a₄ + r ==> a₅ =220+70 =290
a₆ = a₅ + r ==> a₆ =290+70=360
a₇ = a₆ + r ==> a₇ =360+70 =430

Calculamos a média aritmética:

M.A. = Adição dos termos / número de termos adicionados = (a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇) / 6
M.A. = (80 + 150 + 220 + 290 + 360 + 430) / 6 = 1530 / 6 = 255

Resposta: M.A. = 255

Questão 18

P.A.(3,..,88)
Dados: a₁ = 3 ; r = ? ; a_n = a₁₈ = 88 ; n = 18

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₁₈ = 3 + (18-1).r ==> 88 = 3 + 17.r ==> 88 - 3 = 17r ==> 85 = 17r ==> 85/17 = r ==> 5 = r

Calculamos as 16 interpolações:

a₂= a₁ + r ==>a₂ = 3+5 = 8
a₃= a₂ + r ==>a₃ = 8+5 = 13
a₄= a₃ + r ==>a₄ = 13+5 =18
a₅= a₄ + r ==>a₅ =18+5 =23
a₆= a₅ + r ==>a₆ =23+5 =28
a₇= a₆ + r ==>a₇ =28+5 =33
a₈= a₇ + r ==>a₈ =33+5 =38
a₉= a₈ + r ==>a₉ =38+5 =43
a₁₀= a₉+ r ==>a₁₀ =43+5 =48
a₁₁= a₁₀+ r ==>a₁₁ =48+5 =53
a₁₂= a₁₁+ r ==>a₁₂ =53+5 =58
a₁₃= a₁₂+ r ==>a₁₃ =58+5 =63
a₁₄= a₁₃+ r ==>a₁₄ =63+5 =68
a₁₅= a₁₄+ r ==>a₁₅ =63+5 =73
a₁₆= a₁₅+ r ==>a₁₆ =73+5 =78
a₁₇= a₁₆+ r ==>a₁₇ =78+5 =83

Resposta: km 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83

Questão 19

Dados:

M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.
M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.
M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.
M(1) = 1, 2, ..., 10000.

Resolução:

Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r => 10000 = 1000 + (n - 1). 5 => n = 9005 / 5 => n = 1801.
Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r => 9996 = 1001 + (n - 1). 7 => n = 9002 / 7 => n = 1286.
Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r => 9975 = 1015 + (n - 1).35 => n = 8995 / 35 => n = 257.
Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r => 10000 = 1000 + (n - 1).1 => n = 9001.

Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).

Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).
Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171

Resposta: n = 6171

Questão 20

P.A.(6530, _ , 23330)
Dados: a₁ = 6530 ; r = ? ; a_n = 23330 ; n = 3

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₃ = 6530 + (3-1).r ==> 23330 = 6530 + 2.r ==> 23330 - 6530 = 2r ==> 16800 = 2r ==> 16800/2 = r ==> 8400 = r
a₂ = a₁ + r ==> a₂ = 6530 + 8400 ==> a₂ = 14930

P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _)
Dados: a₁ = 6530 ; r = 8400 ; a_n = a₆ = ? ; n = 6

Resolução: a_n = a₁ + (n-1).r
a₆ = 6530 + (6-1).8400 ==> a₆ = 6530 + 5.8400 ==> a₆ = 6530 + 42000 ==> a₆ = 48530

Resposta: a) 14930; b) 48530

Progressão Geométrica

Definição

é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma constante, denominada razão, representada pela letra 'q'.

Elementos

a₁ - 1^o termo

a_n - termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)

q - razão

n - número de termos

S_n - soma dos termos

P_n- produto dos termos

Fórmula do Termo Geral da P.G.

a_n = a₁ . q^n-1

Produtos dos Termos de uma P.G.

O produto dos 'n' termos de uma P.G. é dado por:

Soma dos Termos da P.G.

P.G. limitada (ou finita)

P.G. ilimitada (ou infinita) decrescente

Obs.: para -1 < q < 1 e o número de termos tendendo ao infinito.

Termo M?dio de uma P.G.

TM²= a₁.a_n

Representação de 3 termos na P.G.

Para representar três termos em P.G., sendo dado o produto dos termos, use:

Exercícios - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.

Questões

1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados:

a) a₁ = 2 e q = 3

b) a₁ = 3 e q = -1

c) a₁ = -6 e q = 1/2

d) a₁ = -2 e q = 5/4

e) a₁ = 7 e q = 0

f) a₁ = q = 1

2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo é -108 e a razão é q = 3.

3-) A soma do 2^o com o 3^o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1^o com o 3^o é 16. Determine essa P.G. sabendo que ela é crescente.

4-) Interpole quatro meios geométricos entre 1/8 e 4.

5-) Interpole seis meios geométricos entre 1 e 2187.

6-) Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 à taxa de 2,5 por cento ao mês. Calcule por quanto tempo esse dinheiro deve ficar aplicado para que o montante seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 1,4129732 = 0,1501.)

Atualizado dia: 28/01/2009

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