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Logaritmos

O nobre escocês John Napier (1550-1617), Barão de Murchiston, ao contrário de Briggs, não era um matemático profissional. Ele desenvolveu o sistema de logaritmos neperianos (base e) e o eminente professor Henry Briggs (1556-1630), que ocupava no Gresham College a primeira cátedra de matemática criada na Inglaterra, desenvolveu o sistema de logaritmos decimais (base 10) e publicou a primeira tábua de logaritmos de 1 a 1000.
O desenvolvimento de tal sistema foi devido, principalmente, à necessidade de simplificação de cálculo ligado a astronomia. Através dos logaritmos, operações de multiplicação são transformadas em adição, de divisão em subtração e outras propriedades. A idéia básica de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para o uso de expoente.

O logaritmo de um número real e positivo a, na base b (diferente de 1 e positiva) é o número c ao qual se deve elevar b para se obter a.

logba = c <=> bc = a

, com a >0, b >0 e b diferente de 1.

Onde b é a base do sistema de logaritmos, a é o logaritmando ou antilogaritmo e c é o logaritmo.

Exemplos Resolvidos

I - Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:

  1. log25 0,2 = 25c = 0,2 => 25c = 2/10 =>52c = 1/5 => 52c = 5 -1 ... c = -1/2
    Resposta: c = -1/2
  2. log3 81 = 3c = 81 => 3c = 34... c = 4
    Resposta: c = 4
  3. log5 0,000064 = 5c = 0,000064 => 5c = 64/1000000 => 5c = 26/106 => 5c = (2/10)6 =>
    => 5c = (1/5)6 => 5c = 5-1 . 6...c = - 6
    Resposta: c = - 6
  4. ln e3 = logee3=c => ec = e3 ... c = 3
    Resposta: c = 3 
II - Outros Exemplos:

    1.   log28 = 3       porque    23 = 8                          6.    log 100000 = 5      porque    105 = 100000       
    2.   log71 = 0       porque    70 = 1                          7.    log2 = 0,3010        porque    100,3010 = 2 
    3.   log39 = 2       porque    32 = 9                          8.    log5 = 0,06990      porque    100,06990 = 5    
    4.   log55 = 1       porque    51 = 5                          9.    ln e = 1                porque    e1 = e = 2,7183...  
    5.   log31/9 =-2  porque    3-2=1/9                        10.    log2/3 =-0,1761    porque     10-0,1761 = 2/3

Observação: Quando a base não for especificada, sabemos que ela é igual a 10.

Propriedades Decorrentes da Definição

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0 = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.

P3) logbbx = x , porque bx = bx .

P4) Dois logaritmos em uma mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmandos são iguais. Esta propriedade é muito utilizada na resolução de equações logarítmicas.

Se logba = logbc então podemos concluir que a = c.

P5) A potência de base a e expoente loga b é igual a b.
blogba = a.

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto de dois fatores reais é igual a soma dos logaritmos dos fatores:
logb(c.b) = logbc + logbc
Exemplo: log 200 =log (2.100) = log 2 + log 100 = 0,3010 + 2 = 2,3010

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo do quociente de dois números reais positivos é igual a diferença entre os logaritmo do numerador da fração e logaritmo do denominador:
logb(a/c) = logba - logbc

Exemplo: log 0,02 = log(2/100) = log 2 - log 100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990

COLOGARITMO - Chamamos de cologaritmo de um número positivo b, numa base a, ao oposto do logaritmo de b na base a:
cologab = loga(1/b) = loga1 - logab = 0 - logab = - logab

Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA

O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência: logabk = k.logab.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12

Mudança de Base - Há ocasiões em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma única base conveniente. Na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos na mesma base. Agora vamos ver o processo que permite converter o logaritmo de um número positivo, em uma certa base, para outro em base conveniente.

P4 - MUDANÇA DE BASE

logab =logcb / logca "ou" logab = logc b . logac

Exemplo: log3 7 convertido para a base 2 fica assim; log37 = log27 / log23

Consequências:

Exercícios

Calcule, pela definição, os logaritmos abaixo:
1-) log41/32 7-) log21/8
2-) log12525 8-) log0,0010,1
3-) log0,258 9-) antilog34
4-) log2781 10-) antilog161/2
5-) log1/28 11-) log100 - log1,54/9 + antilog3-2
6-) log91/27 12-) log821/2 + 3log332 - 32-log36

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