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T R I G O N O M E T R I A

Introdução
Razões Trigonométricas
Exemplos
Tabela Trigonométrica
Circunferência Trigonométrica (ou Círculo / ou Ciclo)
Exercícios de Trigonometria
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INTRODUÇÃO

Trigonometria (do grego trigonon + metria) significa o estudo puro e simples das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. A Trigonometria é usada em várias áreas das ciências, como as Engenharias, a Física, a Astronomia, a Navegação etc.
O matemático suíço Leonhard Euler, um dos grandes matemáticos do século XVIII, desvinculou a Trigonometria da Astronomia transformando-a em um dos diversos ramos independentes da matemática.

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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Chamamos de triângulo retângulo o que tem um ângulo igual á 90 graus (ângulo reto).
Num triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo reto são chamados de "Catetos" e o lado em frente ao ângulo reto é a "Hipotenusa".

Pitágoras, através de seu teorema demostra que: "Em um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos catetos ao quadrado", ou seja, h2= c2+ c2.

Triângulo Retângulo

 Seno - Num triângulo retângulo, o sen de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

Cosseno - Num triângulo retângulo, o cos de um ângulo agudo é dado pelo quociente entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

Tangente - Num triângulo retângulo, a tg de um ângulo agudo é dado pelo quociente entre o cateto oposto e cateto adjacente a esse ângulo. Podemos também dividir o valor do seno do ângulo pelo valor do cosseno do mesmo ângulo.

Relações Trigonométricas
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EXEMPLOS

1-) Vamos calcular o sen, o cos e a tg dos dois ângulos agudos do triângulo abaixo:

Exemplo 1

Resolução: sen α = 3/5 ; sen β = 4/5
cos α = 4/5 ; cos β = 3/5
tg α = 3/4 ; tg β = 4/3

2-) Com o auxílio da tabela trigonométrica, vamos calcular o valor do lado X no triângulo retângulo dado:

Exemplo 2

Resolução: cos 40o = X/10
X = 10 . cos 40o
X = 10 . 0,766
X = 7,66

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TABELA TRIGONOMÉTRICA

Podemos tabular os valores trigonométricos dos ângulos entre 1o e 89o.

ângulo sen cos tg
1 0,017452 0,999848 0,017455
2 0,034899 0,999391 0,034921
3 0,052336 0,99863 0,052408
4 0,069756 0,997564 0,069927
5 0,087156 0,996195 0,087489
6 0,104528 0,994522 0,105104
7 0,121869 0,992546 0,122785
8 0,139173 0,990268 0,140541
9 0,156434 0,987688 0,158384
10 0,173648 0,984808 0,176327
11 0,190809 0,981627 0,19438
12 0,207912 0,978148 0,212557
13 0,224951 0,97437 0,230868
14 0,241922 0,970296 0,249328
15 0,258819 0,965926 0,267949
16 0,275637 0,961262 0,286745
17 0,292372 0,956305 0,305731
18 0,309017 0,951057 0,32492
19 0,325568 0,945519 0,344328
20 0,34202 0,939693 0,36397
21 0,358368 0,93358 0,383864
22 0,374607 0,927184 0,404026
23 0,390731 0,920505 0,424475
24 0,406737 0,913545 0,445229
25 0,422618 0,906308 0,466308
26 0,438371 0,898794 0,487733
27 0,45399 0,891007 0,509525
28 0,469472 0,882948 0,531709
29 0,48481 0,87462 0,554309
30 0,5 0,866025 0,57735
31 0,515038 0,857167 0,600861
32 0,529919 0,848048 0,624869
33 0,544639 0,838671 0,649408
34 0,559193 0,829038 0,674509
35 0,573576 0,819152 0,700208
36 0,587785 0,809017 0,726543
37 0,601815 0,798636 0,753554
38 0,615661 0,788011 0,781286
39 0,62932 0,777146 0,809784
40 0,642788 0,766044 0,8391
41 0,656059 0,75471 0,869287
42 0,669131 0,743145 0,900404
43 0,681998 0,731354 0,932515
44 0,694658 0,71934 0,965689
45 0,707107 0,707107 1
46 0,71934 0,694658 1,03553
47 0,731354 0,681998 1,072369
48 0,743145 0,669131 1,110613
49 0,75471 0,656059 1,150368
50 0,766044 0,642788 1,191754
51 0,777146 0,62932 1,234897
52 0,788011 0,615661 1,279942
53 0,798636 0,601815 1,327045
54 0,809017 0,587785 1,376382
55 0,819152 0,573576 1,428148
56 0,829038 0,559193 1,482561
57 0,838671 0,544639 1,539865
58 0,848048 0,529919 1,600335
59 0,857167 0,515038 1,664279
60 0,866025 0,5 1,732051
61 0,87462 0,48481 1,804048
62 0,882948 0,469472 1,880726
63 0,891007 0,45399 1,962611
64 0,898794 0,438371 2,050304
65 0,906308 0,422618 2,144507
66 0,913545 0,406737 2,246037
67 0,920505 0,390731 2,355852
68 0,927184 0,374607 2,475087
69 0,93358 0,358368 2,605089
70 0,939693 0,34202 2,747477
71 0,945519 0,325568 2,904211
72 0,951057 0,309017 3,077684
73 0,956305 0,292372 3,270853
74 0,961262 0,275637 3,487414
75 0,965926 0,258819 3,732051
76 0,970296 0,241922 4,010781
77 0,97437 0,224951 4,331476
78 0,978148 0,207912 4,70463
79 0,981627 0,190809 5,144554
80 0,984808 0,173648 5,671282
81 0,987688 0,156434 6,313752
82 0,990268 0,139173 7,11537
83 0,992546 0,121869 8,144346
84 0,994522 0,104528 9,514364
85 0,996195 0,087156 11,43005
86 0,997564 0,069756 14,30067
87 0,99863 0,052336 19,08114
88 0,999391 0,034899 28,63625
89 0,999848 0,017452 57,28996
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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Seja uma circunferência de centro O sobre a qual marcamos dois pontos distintos, A e B. A cada uma das partes em que a circunferência fica dividida chamamos arco de circunferência.

Ciclo Trigonom?trico

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Exercícios de Trigonometria

1-) Em cada caso, calcule sen, cos e tg dos ângulos agudos dos triângulos retângulos abaixo.

2-) Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que forma 70o com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco ? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo ?

3-) A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além da mesma altura. Se AB = 2 m e BCA mede 30o, então a medida da extensão de cada degrau ?:

4-) Encontre o valor de x em cada caso:

5-) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15o com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida ? (Dados sen 15o = 0,259 e tg 15o = 0,268.)

6-) Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m no topo de uma colina de 500 m de altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17o. A que distância aproximada da colina está o fogo ? (Use a tabela trigonométrica.)

7-) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60o. Qual é o comprimento da escada em m ?

8-) (Unimep-SP) Qual é a área do triângulo ABC da figura, na qual AB = 4 cm e BC = 2 cm ?

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Atualizado dia: 30/12/2008

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